Gireu-vos, feu una ullada al vostre entorn. Encara que no els veieu, hi són. Ens rodegen i ens envolten. Són presents arreu. Des dels mobles que tingueu al voltant fins a l’aparell que teniu entre mans. Els números són presents en tot, ja sigui de forma directa o indirecta. “Mesuren totes les magnituds que ens permeten modelar el món en què vivim”, apunta Natàlia Castellana, professora del Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona, on imparteix classe en el doble grau en matemàtiques i física, que per desè any consecutiu té la nota de tall més alta de tot Catalunya, amb un 13,56 sobre 14.
Parlem dels nombres i ens centrem a analitzar-ne la seva magnitud. Si ens posem a comptar, mai acabaríem, després d’un número sempre n’hi ha un altre, el que coneixem com a infinit. Però, quin significat adopta aquesta xifra? D’on prové? L’utilitzem en algun àmbit de la nostra vida quotidiana? Quin és el nombre anterior a l’infinit? Es pot arribar a representar amb xifres? Resolem dubtes!
La Natàlia fent classe a la UAB
La infinitat d’infinits: quants en trobem?
“La nostra percepció és finita. En el cas dels números, sabem que són infinits perquè sempre en trobem un després d’un altre, però en matemàtiques trobem molts infinits”, apunta la professora de la UAB. D’una banda, trobaríem l’infinit numerable, el que tots coneixem i que representem amb el símbol “∞”, però n’hi ha un altre. “Quin és el nombre després del 0?”. L’1. “No, el 0’1, o el 0’01, o bé també el 0’001... Hi ha un altre infinit que no té la magnitud de l’anterior, que és l’infinit decimal”, apunta l’experta en xifres, que afegeix com aquest es representa amb la lletra Àlef ( א).
Podríem entrar en un món de paradoxes constants, explica Castellana, que diu com l’infinit és un concepte essencial en el món matemàtic. “En fer càlcul, aquest símbol simbolitza un comportament que et permet tractar-lo i formalitzar-lo”. Si tenim dues magnituds que tendeixen a infinit, la seva suma també tendirà a l’infinit. “En fer una fotografia amb el mòbil, estàs fent servir l’infinit, perquè hi ha perspectives i s’està fent servir la geometria projectiva”, apunta la professora, que detalla que l’infinit el trobem present en tota perspectiva.
En fer una fotografia amb el mòbil estem fent servir l’infinit
Imatge d'un edifici amb perspectiva on trobem l'infinit
Un hotel amb infinites habitacions
La professora de matemàtiques ens posa un exemple per comprendre com aquest concepte ens porta a situacions totalment paradoxals. Parlem de l’Hotel de Hilbert -una construcció abstracta inventada pel matemàtic alemany David Hilbert- en què trobem un hotel amb infinites habitacions, numerades totes elles i plenes. Imaginem-nos que arriba un nou hoste i demana una habitació. Si l’hotel fos finit, no s’hi podria allotjar, però al trobar-nos en un hotel infinit, hi ha una solució. Per megafonia, dius que tothom surti de la seva habitació amb les seves coses i que es desplacin a la següent. Així s’allibera la primera habitació i pots col·locar-hi el nou hoste.
“Aquesta idea de l’infinit et permet fer coses, viure situacions i pensar diferent”. De la mateixa forma, es podrien alliberar infinites habitacions si tothom es desplaça el resultat de multiplicar per dos el nombre de la seva habitació. L’hoste de la primera habitació aniria a la segona, el de la segona a la quarta, el de la tercera a la sisena... I així, deixes infinits forats!
D’on neix l’infinit?
Els grecs clàssics, més que parlar d’infinits parlaven de “coses sense límit”. La idea d’infinit que la majoria tenim en ment relacionada amb el càlcul ve del segle XVII, quan el matemàtic John Wallis va publicar per primera vegada el símbol “∞” en un article. Ell, però, va utilitzar el concepte d’infinit en l’àmbit de l’estudi de les funcions, que són les relacions entre dues magnituds o dues variables. “Les funcions que expressen dependència d’una variable respecte a una altra. Quan diem que una cosa tendeix a infinit, el que volem dir és que aquesta magnitud la pots aconseguir fer tan gran com vulguis, en funció de l’altre variable”, apunta la professora. “Es fa servir en el sentit de tendir a l’infinit, que vol dir que quan faig que alguna cosa tendeixi a l’infinit, vol dir que aquella variable pot superar qualsevol valor que jo li doni”.
El nombre anterior a l'infinit
La resposta no és infinit menys 1, com molts pensareu. “No existeix un nombre anterior a l’infinit, dependrà de l’infinit que parlem en tot cas”, apunta la matemàtica de la UAB. “L’infinit menys 1 és infinit. Si tu tens infinites coses i en treus una, segueixes tenint infinites coses. Si a un conjunt d’infinit se li afegeixen 4 coses, continues tenint la mateixa magnitud que abans”.
L’infinit menys 1 és infinit
El salt, apunta la professora, es produeix quan afegeixes totes les possibles expansions decimals, que això ja crea una altra magnitud diferent. Unes explicacions que ens han permès conèixer un concepte abstracte, que pot presentar diferents magnituds i que és molt més present del que ens imaginàvem en el nostre dia a dia.